Principiile matematicii

Principiile matematicii

Lucrarea de față are două obiecte principale. Una dintre acestea, dovada că toată matematica pură se ocupă exclusiv de concepte definibile în termenii unui număr foarte mic de concepte logice fundamentale și că toate propozițiile sale sunt deductibile dintr-un număr foarte mic de principii logice fundamentale, este întreprinsă în părțile II-VII ale acestui volum și va fi stabilită prin raționament simbolic strict în volumul II. Celălalt obiect al acestei lucrări, care ocupă Partea I, este explicarea conceptelor fundamentale pe care matematica le acceptă ca indefinibile.

1. Matematica pură este clasa tuturor propozițiilor de forma „p implică q”, unde p și q sunt propoziții care conțin una sau mai multe variabile, aceleași în cele două propoziții și nici p, nici q nu conțin constante cu excepția constantelor logice. Iar constantele logice sunt toate noțiunile definibile în termenii următori: implicație, relația unui termen cu o clasă din care face parte, noțiunea de astfel încât, noțiunea de relație și noțiunile ulterioare care pot fi implicate în noțiunea generală de propoziții din forma de mai sus. Pe lângă acestea, matematica folosește o noțiune care nu este o componentă a propozițiilor pe care le consideră, și anume noțiunea de adevăr.

2. Definiția de mai sus a matematicii pure este, fără îndoială, oarecum neobișnuită. Cu toate acestea, diferitele sale părți par a fi capabile de justificare exactă - o justificare pe care va fi obiectul lucrării de față să o ofere. Se va arăta că orice a fost considerat, în trecut, drept matematică pură, este inclus în definiția noastră și că orice altceva este inclus posedă acele semne prin care matematica se distinge în mod obișnuit, deși vag, de alte studii. Definiția pretinde a fi nu o decizie arbitrară de a folosi un cuvânt comun într-o semnificație neobișnuită, ci mai degrabă o analiză precisă a ideilor care, mai mult sau mai puțin inconștient, sunt implicate în folosirea obișnuită a termenului. Metoda noastră va fi deci una de analiză, iar problema noastră poate fi numită filozofică – în sensul, adică căutăm să trecem de la complex la simplu, de la demonstrabil la premisele lui indemonstrabile. Dar, într-o privință, nu puține dintre discuțiile noastre vor diferi de cele care sunt de obicei numite filozofice. Vom putea, grație muncii matematicienilor înșiși, să ajungem la certitudine cu privire la majoritatea întrebărilor care ne vor ocupa; iar printre cei capabili de o soluție exactă vom găsi multe dintre problemele care, în trecut, au fost implicate în toată incertitudinea tradițională a conflictelor filozofice. Natura numărului, a infinitului, a spațiului, timpului și mișcării și a inferenței matematice în sine, sunt toate întrebări la care, în lucrarea de față, va fi dat un răspuns care se pretinde demonstrabil cu certitudine matematică - răspuns care constă totuși în reducerea problemelor de mai sus la probleme de logică pură, care nu vor fi găsite în cele din urmă rezolvate satisfăcător în cele ce urmează.