Structuri algebrice și hamiltonieni din clasele de echivalență ale algebrelor conforme 2D

Structuri algebrice și hamiltonieni din clasele de echivalență ale algebrelor conforme 2D

Construcția sistemelor superintegrabile bazate pe algebrele Lie și algebrele lor universale de anvelopă a fost studiată pe scară largă în ultimele decenii. Cu toate acestea, majoritatea construcțiilor se bazează pe realizări explicite ale operatorilor diferențiați și pe reduceri Marsden-Weinstein. În această lucrare, dezvoltăm o abordare algebrică bazată pe subalgebrele algebrei conformale 2D c(2). Acest lucru ne permite să clasificăm centralizatorii algebrei de anvelopă a algebrei conformale și să construim Hamiltonienii corespunzători cu integrale în formă algebrică. Se constată că algebrele de simetrie care stau la baza acestor Hamiltonieni algebrici sunt algebre pătratice cu șase dimensiuni. Parantezele Berezin și relațiile de comutație ale structurilor algebrice pătratice sunt închise fără a se baza pe realizări sau reprezentări explicite. De asemenea, dăm invarianții Casimir ai algebrelor de simetrie. Abordarea noastră oferă perspective algebrice pentru lucrările recente ale lui Fordy și Huang privind construcția sistemelor superintegrabile în spațiile Darboux.

Sistemele superintegrabile au fost studiate din diferite perspective de-a lungul anilor, cuprinzând abordări din mecanica clasică și cuantică, teoria reprezentării și fizica matematică [1–6]. S-a descoperit că abordările de algebră de simetrie pot fi utilizate pentru a analiza sistemele fizice mai eficient decât alte abordări [7–11]. Sa arătat cum algebrele Lie, realizările și reducerile lor permit obținerea de hamiltonieni superintegrabili în contextul mecanicii clasice [12–14]. De exemplu, în [15–18] s-au obținut diverse sisteme superintegrabile pe sfere și pseudo-sfere. Cu toate acestea, majoritatea studiilor anterioare se bazează pe utilizarea realizărilor operatorilor diferențiali explicite, a reducerilor Marsden-Weinstein și a conexiunilor cu funcții speciale [19-21].

Numai foarte recent s-a constatat că o abordare complet algebrică a sistemelor superintegrabile poate fi stabilită realizând că integralele sistemelor sunt la fel de apropiate de algebrele polinomiale în algebrele de anvelopă ale anumitor algebre Lie. Abordarea a fost implementată cu succes pentru su(3) [22] și gl(3) [23] prin aplicarea unei scheme bazate pe comutatori și algebrizări. De asemenea, este extinsă la comutatori privind subalgebrele Cartan ale sl(n) [24] și anumite algebre nesemisimple [25]. În această lucrare, generalizăm procedura în continuare și prezentăm construcția comutatorilor privind subalgebrele, Hamiltonienii superintegrabili algebrici corespunzătoare și integralele lor de mișcare. Acest lucru ne permite să propunem o nouă schemă de clasificare a sistemelor superintegrabile prin clasificarea subalgebrelor și a comutatorilor aferenti unei algebre Lie date.

Recent sa realizat că algebrele conformale joacă un rol important în clasificarea sistemelor superintegrabile în spații bidimensionale [2, 26–28]. În lucrarea lui Fordy și Huang [29–31], prin utilizarea subalgebrelor specifice, a operatorilor lor Casimir și a realizărilor diferențiale, s-a arătat că sistemele superintegrabile în spațiile conforme plate 2D și 3D sunt legate de sistemele superintegrabile din spațiile Darboux. În special, simetriile conforme ale metricii euclidiene 2D au fost aplicate pentru a construi noi sisteme superintegrabile libere în spațiile Darboux 2D. În această lucrare, vom examina diferite subalgebre abeliene și non-abeliene ale algebrei conformale 2D c(2) și vom propune o nouă schemă de clasificare a sistemelor integrabile și superintegrabile prin construcția explicită a comutatorilor în raport cu subalgebrele.