Prinsip Matematika

Prinsip Matematika

Karya ini mempunyai dua objek utama. Salah satunya, bukti bahwa semua matematika murni berhubungan secara eksklusif dengan konsep-konsep yang dapat didefinisikan dalam sejumlah kecil konsep logika dasar, dan bahwa semua proposisinya dapat dideduksi dari sejumlah kecil prinsip-prinsip logika dasar, dilakukan di Bagian II–VII buku ini, dan akan ditetapkan melalui penalaran simbolik yang ketat di Jilid II. Objek lain dari karya ini, yang menempati Bagian I, adalah penjelasan tentang konsep-konsep dasar yang diterima matematika sebagai hal yang tidak dapat dijelaskan.

1. Matematika Murni adalah golongan semua proposisi yang berbentuk “p menyiratkan q”, dimana p dan q adalah proposisi yang mengandung satu atau lebih variabel, sama pada kedua proposisi tersebut, dan baik p maupun q tidak mengandung konstanta apa pun kecuali konstanta logika. Dan konstanta logis adalah semua gagasan yang dapat didefinisikan dalam hal berikut: Implikasi, hubungan suatu istilah dengan suatu kelas di mana ia menjadi anggotanya, gagasan tentang hal itu, gagasan tentang hubungan, dan gagasan lebih lanjut yang mungkin terlibat dalam gagasan umum tentang proposisi bentuk di atas. Selain itu, matematika juga menggunakan suatu gagasan yang bukan merupakan bagian dari proposisi yang dipertimbangkannya, yaitu gagasan tentang kebenaran.

2. Definisi matematika murni di atas, tidak diragukan lagi, agak tidak biasa. Namun, berbagai bagiannya tampaknya mampu memberikan pembenaran yang tepat—sebuah pembenaran yang akan menjadi objek penelitian ini. Akan terlihat bahwa apa pun yang di masa lalu dianggap sebagai matematika murni, termasuk dalam definisi kami, dan apa pun yang dimasukkan memiliki ciri-ciri yang membedakan matematika dari kajian-kajian lain, meskipun secara samar-samar. Definisi tersebut dinyatakan sebagai, bukan suatu keputusan sewenang-wenang untuk menggunakan sebuah kata umum dalam suatu makna yang tidak umum, melainkan sebuah analisis yang tepat atas gagasan-gagasan yang, kurang lebih tanpa disadari, tersirat dalam penggunaan istilah tersebut pada umumnya. Oleh karena itu, metode kita adalah analisis, dan permasalahan kita dapat disebut filosofis—dalam artian, kita berusaha untuk beralih dari premis-premis yang kompleks ke yang sederhana, dari premis-premis yang dapat dibuktikan ke premis-premis yang tidak dapat dibuktikan. Namun dalam satu hal tidak sedikit pembahasan kita yang berbeda dengan yang biasa disebut filosofis. Berkat kerja keras para matematikawan itu sendiri, kita akan mampu mencapai kepastian sehubungan dengan sebagian besar pertanyaan yang akan kita bahas; dan di antara mereka yang mampu memberikan solusi yang tepat, kita akan menemukan banyak masalah yang, di masa lalu, terlibat dalam ketidakpastian tradisional dalam perselisihan filosofis. Hakikat bilangan, ketidakterbatasan, ruang, waktu dan gerak, serta inferensi matematis itu sendiri, merupakan pertanyaan-pertanyaan yang, dalam karya ini, akan diberikan jawaban yang menyatakan dirinya dapat dibuktikan dengan kepastian matematis—sebuah jawaban yang, bagaimanapun, terdiri dari mereduksi masalah-masalah di atas menjadi masalah-masalah dalam logika murni, yang pada akhirnya tidak akan ditemukan penyelesaian yang memuaskan dalam hal-hal berikutnya.