Struktur Aljabar dan Hamiltonian dari Kelas Kesetaraan Aljabar Konformal 2D

Struktur Aljabar dan Hamiltonian dari Kelas Kesetaraan Aljabar Konformal 2D

Konstruksi sistem superintegrable berdasarkan aljabar Lie dan aljabar selubung universalnya telah dipelajari secara luas selama beberapa dekade terakhir. Namun, sebagian besar konstruksi bergantung pada realisasi operator diferensial eksplisit dan pengurangan Marsden – Weinstein. Dalam makalah ini, kami mengembangkan pendekatan aljabar berdasarkan subaljabar dari aljabar konformal 2D c(2). Hal ini memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan pemusat aljabar pembungkus aljabar konformal dan membangun Hamiltonian yang sesuai dengan integral dalam bentuk aljabar. Diketahui bahwa aljabar simetri yang mendasari aljabar Hamilton ini adalah aljabar kuadrat enam dimensi. Tanda kurung Berezin dan hubungan pergantian struktur aljabar kuadrat ditutup tanpa bergantung pada realisasi atau representasi eksplisit. Kami juga memberikan invarian Casimir dari aljabar simetri. Pendekatan kami memberikan perspektif aljabar untuk karya terbaru Fordy dan Huang tentang konstruksi sistem superintegral di ruang Darboux.

Sistem superintegrable telah dipelajari dari berbagai perspektif selama bertahun-tahun, mencakup pendekatan mekanika klasik dan kuantum, teori representasi, dan fisika matematika [1-6]. Telah ditemukan bahwa pendekatan aljabar simetri dapat digunakan untuk menganalisis sistem fisik lebih efektif dibandingkan pendekatan lainnya [7-11]. Telah ditunjukkan bagaimana aljabar Lie, realisasinya, dan reduksinya memungkinkan seseorang memperoleh Hamiltonian yang superintegrable dalam konteks mekanika klasik [12-14]. Misalnya, dalam [15-18] berbagai sistem superintegrable pada bola dan bola semu telah diperoleh. Namun, sebagian besar penelitian sebelumnya mengandalkan penggunaan realisasi operator diferensial eksplisit, reduksi Marsden-Weinstein, dan hubungan dengan fungsi khusus [19-21].

Baru-baru ini ditemukan bahwa pendekatan aljabar seluruhnya terhadap sistem superintegral dapat dibangun dengan menyadari bahwa integral sistem tersebut mendekati aljabar polinomial dalam aljabar pembungkus aljabar Lie tertentu. Pendekatan ini berhasil diterapkan untuk su(3) [22] dan gl(3) [23] dengan menerapkan skema berdasarkan komutan dan aljabarisasi. Hal ini juga diperluas ke komutan mengenai subaljabar Cartan dari sl(n) [24] dan aljabar non-semisimple tertentu [25]. Dalam makalah ini, kami menggeneralisasi prosedur ini lebih lanjut dan menyajikan konstruksi komutan mengenai subaljabar, aljabar superintegrable Hamiltonian yang bersesuaian, dan integral geraknya. Hal ini memungkinkan kami untuk mengusulkan skema baru untuk mengklasifikasikan sistem superintegrable dengan mengklasifikasikan subaljabar dan komutan terkait dari aljabar Lie tertentu.

Baru-baru ini disadari bahwa aljabar konformal memainkan peran penting dalam mengklasifikasikan sistem superintegrable dalam ruang 2 dimensi [2, 26-28]. Dalam karya Fordy dan Huang [29–31], melalui penggunaan subaljabar spesifik, operator Casimir, dan realisasi diferensialnya, ditunjukkan bahwa sistem superintegrasi dalam ruang datar konformal 2D dan 3D terkait dengan sistem superintegrasi dalam ruang Darboux. Secara khusus, simetri konformal dari metrik Euclidean 2D diterapkan untuk membangun sistem superintegrable bebas baru di ruang Darboux 2D. Dalam tulisan ini, kita akan mengkaji berbagai subaljabar Abelian dan non-Abelian dari aljabar konformal 2D c(2) dan mengusulkan skema baru untuk mengklasifikasikan sistem yang dapat diintegrasikan dan superintegrasi melalui konstruksi eksplisit komutan relatif terhadap subaljabar.