गणित के सिद्धांत

गणित के सिद्धांत

वर्तमान कार्य के दो मुख्य उद्देश्य हैं। इनमें से एक, यह प्रमाण कि सभी शुद्ध गणित विशेष रूप से बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणाओं से संबंधित है, और इसके सभी प्रस्ताव बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक सिद्धांतों से निकाले जा सकते हैं, इस खंड के भाग II-VII में किया गया है, और खंड II में सख्त प्रतीकात्मक तर्क द्वारा स्थापित किया जाएगा। इस कार्य का अन्य उद्देश्य, जो भाग I में है, उन मूलभूत अवधारणाओं की व्याख्या है जिन्हें गणित अनिश्चित मानता है।

1. शुद्ध गणित "पी का तात्पर्य क्यू" के रूप में सभी प्रस्तावों का वर्ग है, जहां पी और क्यू एक या अधिक चर वाले प्रस्ताव हैं, दोनों प्रस्तावों में समान हैं, और न तो पी और न ही क्यू में तार्किक स्थिरांक को छोड़कर कोई स्थिरांक शामिल है। और तार्किक स्थिरांक निम्नलिखित के संदर्भ में परिभाषित सभी धारणाएं हैं: निहितार्थ, किसी शब्द का उस वर्ग से संबंध जिसका वह सदस्य है, ऐसी धारणा, संबंध की धारणा, और ऐसी अन्य धारणाएं जो उपरोक्त फॉर्म के प्रस्तावों की सामान्य धारणा में शामिल हो सकती हैं। इनके अलावा, गणित एक ऐसी धारणा का उपयोग करता है जो उन प्रस्तावों का घटक नहीं है जिन पर वह विचार करता है, अर्थात् सत्य की धारणा।

2. शुद्ध गणित की उपरोक्त परिभाषा निस्संदेह कुछ हद तक असामान्य है। फिर भी, इसके विभिन्न भाग सटीक औचित्य देने में सक्षम प्रतीत होते हैं - एक औचित्य जिसे प्रदान करना वर्तमान कार्य का उद्देश्य होगा। यह दिखाया जाएगा कि जो कुछ भी, अतीत में, शुद्ध गणित के रूप में माना जाता था, वह हमारी परिभाषा में शामिल है, और जो कुछ भी शामिल किया गया है, उसके पास वे अंक हैं जिनके द्वारा गणित आमतौर पर अन्य अध्ययनों से अस्पष्ट रूप से अलग होता है। यह परिभाषा एक असामान्य अर्थ में एक सामान्य शब्द का उपयोग करने का एक मनमाना निर्णय नहीं है, बल्कि उन विचारों का एक सटीक विश्लेषण है, जो कम या ज्यादा अनजाने में, शब्द के सामान्य उपयोग में निहित हैं। इसलिए हमारी पद्धति विश्लेषण की होगी, और हमारी समस्या को दार्शनिक कहा जा सकता है - इस अर्थ में, कहने का तात्पर्य यह है कि हम जटिल से सरल की ओर, प्रदर्शित करने योग्य से उसके अप्राप्य परिसर की ओर जाने का प्रयास करते हैं। लेकिन एक मामले में हमारी कुछ चर्चाएँ उन चर्चाओं से भिन्न नहीं होंगी जिन्हें आमतौर पर दार्शनिक कहा जाता है। स्वयं गणितज्ञों के परिश्रम की बदौलत हम उन अधिकांश प्रश्नों के संबंध में निश्चितता तक पहुंचने में सक्षम होंगे, जिनसे हम चिंतित होंगे; और सटीक समाधान में सक्षम लोगों में से हमें कई समस्याएं मिलेंगी, जो अतीत में, दार्शनिक संघर्ष की सभी पारंपरिक अनिश्चितताओं में शामिल रही हैं। संख्या की प्रकृति, अनंत की प्रकृति, स्थान, समय और गति की, और स्वयं गणितीय अनुमान, ये सभी प्रश्न हैं, जिनके लिए, वर्तमान कार्य में, गणितीय निश्चितता के साथ खुद को प्रदर्शित करने वाला एक उत्तर दिया जाएगा - एक उत्तर, जो, हालांकि, उपरोक्त समस्याओं को शुद्ध तर्क में समस्याओं में बदलने में शामिल है, जो बाद में संतोषजनक ढंग से हल नहीं किया जाएगा।