द्विविमीय समरूप बीजगणितों के तुल्यता वर्गों से बीजगणितीय संरचनाएँ और हैमिल्टोनियन

द्विविमीय समरूप बीजगणितों के तुल्यता वर्गों से बीजगणितीय संरचनाएँ और हैमिल्टोनियन

ली बीजगणितों और उनके सार्वभौमिक आवरण बीजगणितों पर आधारित अतिसमाकलनीय तंत्रों की रचना पिछले कई दशकों से व्यापक रूप से अध्ययन की गई है। फिर भी, अधिकांश रचनाएँ स्पष्ट अवकल संकारक प्रत्यक्षीकरणों और Marsden–Weinstein समनयनों पर निर्भर करती हैं। इस शोधपत्र में, हम द्विविमीय समरूप बीजगणित c(2) के उपबीजगणितों पर आधारित एक बीजगणितीय दृष्टिकोण विकसित करते हैं। इससे हम समरूप बीजगणित के आवरण बीजगणित के केंद्रककारों का वर्गीकरण करने तथा संगत हैमिल्टोनियनों को उनके समाकलों के साथ बीजगणितीय रूप में रचना करने में सक्षम होते हैं। यह पाया गया है कि इन बीजगणितीय हैमिल्टोनियनों के अंतर्निहित सममिति बीजगणित छह-विमीय द्विघात बीजगणित हैं। द्विघात बीजगणितीय संरचनाओं के Berezin ब्रैकेट और क्रमविनिमय संबंध स्पष्ट प्रत्यक्षीकरणों या निरूपणों पर निर्भर किए बिना संवृत होते हैं। हम सममिति बीजगणितों के कैसिमिर अचर भी प्रस्तुत करते हैं। हमारा दृष्टिकोण Darboux आकाशों में अतिसमाकलनीय तंत्रों की रचना संबंधी Fordy और Huang के हालिया कार्य के लिए बीजगणितीय परिप्रेक्ष्य प्रदान करता है।

अतिसमाकलनीय तंत्रों का अध्ययन वर्षों से विभिन्न दृष्टिकोणों से किया गया है, जिनमें चिरसम्मत और क्वांटम यांत्रिकी, निरूपण सिद्धांत तथा गणितीय भौतिकी के उपागम सम्मिलित हैं [1–6]। यह पाया गया है कि भौतिक तंत्रों का विश्लेषण करने में सममिति बीजगणित उपागम अन्य उपागमों की तुलना में अधिक प्रभावी ढंग से प्रयोग किए जा सकते हैं [7–11]। यह दर्शाया गया कि ली बीजगणित, उनके प्रत्यक्षीकरण और समनयन चिरसम्मत यांत्रिकी के संदर्भ में अतिसमाकलनीय हैमिल्टोनियन प्राप्त करने में सहायक होते हैं [12–14]। उदाहरण के लिए, [15–18] में गोलों और छद्म-गोलों पर विभिन्न अतिसमाकलनीय तंत्र प्राप्त किए गए हैं। फिर भी, पूर्ववर्ती अधिकांश अध्ययन स्पष्ट अवकल संकारक प्रत्यक्षीकरणों, Marsden–Weinstein समनयनों और विशेष फलनों से संबंधों के प्रयोग पर निर्भर करते हैं [19–21]।

अत्यंत हाल ही में यह पाया गया है कि यह जानकर कि तंत्रों के समाकल कुछ ली बीजगणितों के आवरण बीजगणितों में बहुपद बीजगणितों के समीप होते हैं, अतिसमाकलनीय तंत्रों के प्रति पूर्णतः बीजगणितीय दृष्टिकोण स्थापित किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण क्रमविनिमेयों और बीजगणितीकरणों पर आधारित योजना लागू करके su(3) [22] और gl(3) [23] के लिए सफलतापूर्वक कार्यान्वित किया गया। इसे sl(n) [24] के Cartan उपबीजगणितों और कुछ गैर-अर्धसरल बीजगणितों [25] के संबंध में क्रमविनिमेयों तक भी विस्तारित किया गया है। इस शोधपत्र में, हम इस प्रक्रिया को और अधिक सामान्यीकृत करते हैं और उपबीजगणितों के संबंध में क्रमविनिमेयों की रचना, संगत बीजगणितीय अतिसमाकलनीय हैमिल्टोनियन तथा उनके गति-समाकल प्रस्तुत करते हैं। इससे हम किसी दिए गए ली बीजगणित के उपबीजगणितों और संबंधित क्रमविनिमेयों का वर्गीकरण करके अतिसमाकलनीय तंत्रों को वर्गीकृत करने की एक नई योजना प्रस्तावित करने में सक्षम होते हैं।

हाल ही में यह अनुभूत हुआ है कि समरूप बीजगणित द्विविमीय आकाशों में अतिसमाकलनीय तंत्रों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं [2, 26–28]। Fordy और Huang के कार्य [29–31] में, विशिष्ट उपबीजगणितों, उनके कैसिमिर संकारकों और अवकल प्रत्यक्षीकरणों के प्रयोग द्वारा यह दर्शाया गया कि द्विविमीय और त्रिविमीय समरूपतः सपाट आकाशों के अतिसमाकलनीय तंत्र Darboux आकाशों के अतिसमाकलनीय तंत्रों से संबंधित हैं। विशेष रूप से, द्विविमीय यूक्लिडीय मेट्रिक की समरूप सममितियों का प्रयोग द्विविमीय Darboux आकाशों में नए मुक्त अतिसमाकलनीय तंत्रों की रचना के लिए किया गया। इस शोधपत्र में, हम द्विविमीय समरूप बीजगणित c(2) के विभिन्न आबेलियन और गैर-आबेलियन उपबीजगणितों का परीक्षण करेंगे और उपबीजगणितों के सापेक्ष क्रमविनिमेयों की स्पष्ट रचना द्वारा समाकलनीय और अतिसमाकलनीय तंत्रों को वर्गीकृत करने की एक नई योजना प्रस्तावित करेंगे।